Junio.

DERIVADA DIRECCIONAL.

DEFINICIÓN: La derivada direccional de f en (xo,yo) en la dirección de un vector unitario u= (a,b) es

si existe este limite

TEOREMA: Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u=(a,b) y 

GRADIENTE.

la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto se presenta no solo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos.

DEFINICIÓN .- Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la funcion vectorial del gradiente definida por:

----> Realizamos dos ejemplo con la aplicación de las definiciones anteriormente revisadas. 

Casos Especiales.

----->  Se realizo dos ejercicios con las definiciones revisadas anteriormente estudiadas.

Puntos Extremos

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.

Para determinar si un punto es critico en (a,b) se realiza la prueba de la 2° derivada, siguiendo los siguientes parámetros: 

Hallar las derivadas parciales de f(x,y): fx y fy

Igualar a cero y encontrar los puntos críticos.

Hallar las segundas derivadas: fcc, fxy y fyy.

Determinar:

A=fxx(xo,yo),    B=fxy(xo,yo),   C=fyy(xo,yo)

Formar el determinante Jessiano:

J= AC- B^2

Se concluye que si:

J>0, A<0 el punto critico (xo,yo) representa un máximo relativo.

J>0, A>0 el punto critico (xo,yo) representa un mínimo relativo.

J<0 el punto critico (xo,yo) representa un punto de silla.

J=0 el punto critico (xo,yo) es indeterminante.

MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

Toda funcion diferenciable en una region acotada y cerrada alcanza un valor maximo y minimo, o en un punto estacionario, o en un punto de la frontera de la region

Un punto estacionario es aquel en donde la funcion no aumenta ni disminuye.

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Se denomina condicionado de una función f(x,y), al valor máximo o mínimo  de esta función alcanzada con la condición de que las variables independientes estén relacionadas con una ecuación de enlace g(x,y).

Donde:λ:Multiplicadordelagrangeparámetroconstanteindeterminado

Después se procede a derivar parcialmente la función de Lagrange con respecto a "x", "y" y "ƛ".

INTEGRALES MÚLTIPLES.

Una integral múltiple se define como una integral definida de una función de dos variables o mas variables.

La integral múltiple tiene forma general de:

Para la resolución de dichas integrales se realiza el mismo procedimiento de una integral simple, pero varias veces hasta resolver cada operador, definido entre sus respectivos extremos.

Nota: Las integrales dobles representan el volumen bajo la superficie Z=f(x,y) y sobre la región R, siendo la región R parte del dominio de la función.

TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACIÓN.

1. Integrales sobre regiones rectangulares 

En este caso, las integrales se dan sobre regiones acotadas por un rectángulo de vértices(a,b,c,d) en onde la integral toma la forma de: 

----->  Realizamos un ejercicios aplicando integrales en dicha región anteriormente estudiada

2.- Regiones mas generales.

Se presentan dos casos para integrar, en la cual se tiene en cuenta que parte de la región presenta punto fijos y cuales presenta puntos variables, y según eso se coloca el orden de los limites y el orden de realización de las  integrales.

----->  Realizamos un ejercicios aplicando integrales en dicha región anteriormente estudiada.

3.- Regiones generales.

Cuando tenemos una región que no sea rectangular, podemos transformarla en rectangular para hacer mas fácil la resolución de la integral múltiple.

Para esto, hacemos uso del Jacobiano de la transformación por la siguiente expresión:

Para facilitar el calculo de las integrales podemos usar transformaciones de coordenadas

1. Coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
2. Coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas.
3. Coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

------>Realizamos 4 ejercicios aplicando integrales triples, dobles y simples para calcular el volumen.

CENTRO DE MASA

Centro de masa es el punto donde se considera se concentra toda la masa de un cuerpo.

1. Caso Discreto

Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente: 

2. Si es un caso donde hay "n" masas:

En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumaroria:

3. Caso Continuo:

Cuando el numero de masas tiende al infinito

1.-Distribución de masa lineal (cuerpos con una sola dimensión)

2.-Distribución de masa superficial (cuerpos de dos dimensiones)

3.-Distribución de masa Volumetrica (cuerpos de tres dimensiones)

 Momento de Inercia

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo, se hace uso de las siguientes ecuaciones:

En donde, como los anteriores casos presentados, se puede reemplazar dm con la densidad de masa para resolver las integrales.

------>Realizamos ejercicio usando los conceptos anteriores para calcular la masa de una esfera

Campos Vectoriales

Un campo vectorial se define como una función que se define sobre un vector en Rn, es decir, un vector que se transforma en otro vector gracias a una función f: