Geometría Analítica En El Espacio.
En R^2 :
f(x,y) = 0 Función implícita de dos variables.
i) y = f(x) ; y es variable dependiente, x es variable independiente.
ii) x = g(y) ; x es variable dependiente, y es variable independiente.
ii) x = g(y) ; x es variable dependiente, y es variable independiente.
Ejemplo:
x^2 + y^2 - 9 = 0. Se tiene las siguientes posibilidades:
f1(x) = y = (9-x^2)^(1/2) g1(y) = x = (9-y^2)^(1/2)
f2(x) = y = -(9-x^2)^(1/2) g1(y) = x = -(9-y^2)^(1/2)
> Geometricamente una función (x,y) = 0 representa una curva en R^2.
x^2 + y^2= 9; Ecuación de una circunferencia en el origen y radio 3.
> Sistema de función implícita
F(x,y) = 0
G(x,y) = 0
La intersección sera en 1 o más puntos .
INTERSECCIÓN UN PUNTO
[Tomado:http://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/01/Ecuaci%C3%B3n-lineal.png]
INTERSECCIÓN DOS PUNTOS
[Tomado: http://www.trelles.es/matematica/Potenciametrica/Potencia1.jpg]
INTERSECCIÓN DOS O MAS PUNTOS
En R^3 :
f(x,y,z) = 0 Funcion implicita de tres variables.
i) z = f(x,y); z es variable dependiente, x-y son variables independientes.
ii) y = g(x,z); y es variable dependiente, x-z son variables independientes.
iii) x = u(y,z); x es variable dependiente, y-z son variables independientes.
Ejemplo:
x^2 + y^2 + z^2 - 25 = 0. Se tiene las siguiente posibilidades:
i) f1(x,y) = z = (25- x^2 - y^2 )^(1/2) f2(x,y) = z = -(25- x^2 - y^2 )^(1/2)
ii) g1(x,z) = y = (25- x^2 - z^2 )^(1/2) g2(x,z) = y = -(25- x^2 - z^2 )^(1/2)
iii) h1(y,z) = x = (25- y^2 - z^2 )^(1/2) h2(x,z) = x = -(25- y^2 - z^2 )^(1/2)
> Geometricamente una función f(x,y,z) representa una superficie en R^3:
x^2 + y^2 + z^2 = 25 ; Ecuacion de una superfiie esferica con centro en el origen y radio 5.
> Si F(x,y,z) = 0 es de primer grado entonces representa un plano en R^3
> Si F(x,y) = 0 Representa una superficie en R^3 con generatriz paralela al eje OZ.
[Tomado: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea.gif]
> Sistema de funciones implícitas.
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
La intersección de dos superficies genera curvas en R^3.
F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
H(x,y,z) = 0
La interseccion del sistema es 1 o mas puntos.
La Recta En R^3
> Primer Caso.- Cuando se conoce un punto y un vector directriz
> Segundo Caso .- Cuando se conoce dos puntos de la recta.
> Distancia De Un Punto A Una Recta
[Tomado:http://www.vadenumeros.es/segundo/distancias-en-el-espacio.htm]
> Distancia Entre Dos Rectas.
[Tomado: http://www.lanubeartistica.es]
Datos:
Distancia:
El Plano En R3
[Tomado: http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-un-plano.htm]
> Ecuaciones Segmentarías Del Plano.
Donde : a , b y c son los cortes sobre los ejes.
Eje X : (a,0,0)
Eje Z: (0,0,c)
Eje Y: (0,b,0)
> Ecuacion Normal Del Plano
[Tomada: http://www.aulafacil.com/cursos/l10897/ciencia/matematicas/planos-en-el-espacio/ecuacion-normal]
> Normalizacion De La Ecuación General Del Plano.
* Factor Normalizante.
>Distancia Entre Un Punto Y Un Plano.
[Tomada:http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/Algebra-Lineal]
Existen dos casos para encontrar la distancia dependiendo de los datos que se proporcionan.
> Plano Determinado Por Tres Puntos.
*Si el producto mixto es igual a cero los tres vectores son cooplanares.
>Recta Determinada Por 2 Planos.
Se tiene dos plano y su intersección sera una recta.
[Tomado:http://dibujotecni.com/sistema-diedrico/sistema-diedrico-intersecciones/]
Si x=0
Mo, Yo, Zo
Mo(0,Yo,Zo)
Entonces:
Donde (l,m,n) son componentes del vector director obtenido del producto cruz de los vectores normales del plano.
Una recta corta a los 3 planos coordenados en algún punto.
>Ecuacion De Un Haz De Planos.
Haz de planos es un conjunto infinito de planos que pasan por una misma recta.
[Tomado: http://www.aulafacil.com/uploads/cursos/748/editor/planoenelespacio222.jpg]
> Ecuación Vectorial De La Superficie Esférica.
[Tomado: http://html.rincondelvago.com/000429740.png]
>Superficies De Segundo Orden.
Son aquellos que se representan por:
Ax2+By2+Cz2+Exy+Fxz+Hyz+Ix+Ky+Lz+M=0
Para realizar su análisis se sigue el siguiente procedimiento:
1.- Intersección con ejes coordenados.
2.- Intersección con los planos coordenados.
3.- Intersección con planos paralelos a los planos coordenados.
4.- trazar el bosquejo de la superficie.
>Elipsoide.
Pasos Para Bosquejar Una Función.
1. Intersección con los ejes coordenados.
i ) Eje OX.
ii ) Eje OY.
iii ) Eje OZ.
2. Intersección con los planos coordenados.
i ) Plano YOX.
ii ) Plano ZOY.
iii ) Plano XOZ.
3. Paralelos con los planos coordenados.
i ) Paralelo al Plano YOX.
ii ) Paralelo al Plano ZOY.
iii ) Paralelo al Plano XOZ.
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